Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC ． （１）求证：PA为⊙O 的切线；（２）

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC ． （１）求证：PA为⊙O 的切线；（２）若OB=5，OP= ，求AC的长．

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Answer 1

解：（１）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90 0 。 ∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP。 又∠P=∠BAC ，∴△ABC∽△POA，∴∠PAO=∠ACB=90 0 。 ∴PA为⊙O 的切线。 （２）∵OB=5，AB是⊙O的直径，∴OA=5，AB=2OB=10。 由（１）知，△ABC∽△POA，∴ 。 又∵OP= ，∴ 。 在Rt△ACB中， 。 ∴AC的长为8。

（1）要证PA为⊙O 的切线只要证∠PAO =90 0 ，通过直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90 0 ，从而由△ABC∽△POA即可得证。 （2）同（1）△ABC∽△POA，利用相似比求得BC的长即可由勾股定理求得AC的长。