Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x 2 +6x+21）+f（y 2 -8y）＜0恒成立，则 x 2 + y 2 的取值范围是______．

Answer 1

∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称 ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x） 又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x 2 -6x+21）+f（y 2 -8y）＜0恒成立 ∴（x 2 -6x+21）＜-f（y 2 -8y）=f（8y-y 2 ）恒成立 ∴x 2 -6x+21＜8y-y 2 ∴（x-3） 2 +（y-4） 2 ＜4恒成立 设M （x，y），M表示以（3，4）为圆心2为半径的圆内的任意一点， 则x 2 +y 2 表示在圆内任取一点与原点的距离的平方 ∴3＜ x 2 + y 2 ＜7 故答案为：（3，7）