Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．EF与AD交于G．（1）试猜想AD与EF

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．EF与AD交于G．（1）试猜想AD与EF的位置关系，并证明你的结论．（2）如果E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论仍然成立吗？如果不成立请说明理由，如果成立请证明你的结论．

Answer 1

（1）AD垂直平分EF，
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

AD＝AD DE＝DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD垂直平分EF．

（2）当E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论不成立，
理由是：
∵E、F分别是AB、AC中点，
∴EF∥BC，
而AD平分∠BAC，不一定垂直于BC，
∴EF和AD不垂直，也不平分，
即当E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论不成立．