Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有f(x1)?f(x2)x1?x2＞0．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点．其中正确命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即①正确；
②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③：当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0，
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，故③错误；
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，
所以：y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，
所以，函数y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，故④错误．
故正确命题的个数为2个，
故选：B．