Question

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式f(x)+f(?x)x＞0的解集为______

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式f(x)+f(?x)x＞0的解集为______．

Answer 1

由题意，不等式

f(x)+f(?x)

x

＞0等价于

f(x)

x

＞0
∴

f(x)

x

＞0等价于

x＞0 f(x)＞0

或

x＜0 f(x)＜0

∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-2）=0，
∴

x＞0 x＜2

或

x＜0 x＜?2

∴不等式

f(x)+f(?x)

x

＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，2）
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．