Question

求由曲线y=1x，直线y=4x和x=2所围成的平面图形的面积，以及此图形绕x轴旋转而得的旋转体体积

求由曲线y=1x，直线y=4x和x=2所围成的平面图形的面积，以及此图形绕x轴旋转而得的旋转体体积．

Answer 1

根据题意可以画出函数图象，所围面积如图阴影部分

y＝ 1 x y＝4x

?x2＝

1

4

?x＝±

1

2

由题意知所围图形面积为s＝

∫

2 1 2

(4x?

1

x

)dx=

(2x2?lnx)|

2 1 2

＝8?ln2?

1

2

+ln

1

2

＝

15

2

?2ln2
所求体积为y=4x绕x轴的体积减去y=

1

x

绕x轴的体积，
v＝π

∫

2 1 2

(4x)2dx?π

∫

2 1 2

(

1

x

)2dx=π?

16

3

x3|

2 1 2

+π

1 x |

2 1 2

＝

16π

3

(8?

1

8

)+π(

1

2

?2)＝

81

2

π