Question

已知等差数列{a n }的公差为d，且a 2 =3，a 5 =9，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n =1- 1 2

已知等差数列{a n }的公差为d，且a 2 =3，a 5 =9，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n =1- 1 2 b n （n∈N * ）（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n = 1 2 a n b n 求证：数列{c n }的前n项和 T n ≤1．

Answer 1

（1）依题意，d= a 5 -a 2 5-2 =2，故a 1 =a 2 -d=1， ∴a n =2n-1（n∈N * ）…1分 在S n =1- 1 2 b n 中，令n=1，得b 1 = 2 3 ， 当n≥2时，S n =S n =1- 1 2 b n ，S n-1 =1- 1 2 b n-1 ， 两式相减得b n = 1 2 b n-1 - 1 2 b n ， ∴ b n b n-1 = 1 3 （n≥2）…4分 ∴b n = 2 3 ? ( 1 3 ) n-1 = 2 3 n （n∈N * ）…5分 （2）c n = 1 2 a n b n =（2n-1）? ( 1 3 ) n …6分 T n =1× ( 1 3 ) 1 +3× ( 1 3 ) 2 +5× ( 1 3 ) 3 +…+（2n-3）× ( 1 3 ) n-1 +（2n-1）× ( 1 3 ) n ， 1 3 T n =1× ( 1 3 ) 2 +3× ( 1 3 ) 3 +…+（2n-3）× ( 1 3 ) n +（2n-1）× ( 1 3 ) n+1 …7分， 两式相减得： 2 3 T n = 1 3 +2[ ( 1 3 ) 2 + ( 1 3 ) 3 +…+ ( 1 3 ) n ]-（2n-1）× ( 1 3 ) n+1 = 1 3 +2× 1 9 [1 -( 1 3 ) n-1 ] 1- 1 3 -（2n-1）× ( 1 3 ) n+1 …9分， ∴T n =1- ( 1 3 ) n ×（n+1）…11分 ∵n∈N * ， ∴T n ≤1…12分