Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，sin∠BAC＝35，P是边AC上一点，过点P作PD⊥AC，过点A作AD∥

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，sin∠BAC＝35，P是边AC上一点，过点P作PD⊥AC，过点A作AD∥BC，交PD于点D，连接并延长DC，交边AB的延长线于点E．设A、P两点的距离为x，B、E两点的距离为y．（1）求BC的长度；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△ACD是等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

（1）∵，∠ABC=90°，sin∠BAC＝

3

5

，
∴

BC

AC

＝

3

5

．
∵AB=4，设BC=3x，AC=5x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
25x²-9x²=16，
解得：x=1，
BC=3，AC=5，
答：BC=3；
（2）∵AD∥BC，
∴△BEC∽△AED，∠DAB=∠CBE=∠ABC=90°．
∴

BE

AE

＝

BC

AD

，∠DAP+∠CAB=90°．
∵PD⊥AC，
∴∠APD=90°，
∴∠ADP+∠DAP=90°．
∴∠ADP=∠CAB．
sin∠ADP=

AP

AD

=sin∠BAC=

3

5

AD=

5

3

AP．
∵AP=x，BE=y，
∴AE=4+y，
∴

y

4+y

＝

3

5 3 x

，
y=

36

5x?9

．
∵y＞0，
∴5x-9＞0，
∴x＞

9

5

∵P是边AC上一点，且AC=5，
∴

9

5

＜x≤5；
（3）如图1，当AD=DC时
AP=

1

2

AC=

5

2

，
∴BE=

36

5× 5 2 ?9

，
∴BE=

72

7

；
如图1，当AD=AC时
AP=3，AD=AC=5
BE=

36

5×3?9

=6；
如图2，当AC=CD时，作CF⊥AD于F，
∴AD=2AF，∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴AD=6．
∵

AP

AD

＝

3

5

，
∴

AP

6

＝

3

5

，
∴AP=

18

5

．
∴BE=

36

5× 18 5 ?9

=4；
综上所述：BE的长为：

72

7

，6，4．