Question

设a为实数，函数f(x）=x²＋|x-a|+1,x∈R,求函数的最小值

Answer 1

解：当x<a时，f1(x)=x²-x+a+1，其图像是抛物线，对称轴为x=1/2；
当x≥a时，f2(x)=x²+x-a+1，其图像是抛物线，对称轴为x= -1/2；
且知，当x=a时，f1(x)=f2(x)
下面就a的取值来讨论：
①当a<-1/2时，在(-∞，a)上，f(x)=f1(x)，为减函数；在[a，+∞)上，f(x)=f2(x)，先减后增。
所以f(x)min=f2(-1/2)=(-1/2)²+(-1/2)-a+1=(3/4)-a。
②当-1/2≤a≤1/2时，在(-∞，a)上，f(x)=f1(x)，为减函数；在[a，+∞)上，f(x)=f2(x)，为增函数。
所以f(x)min=f(a)=a²+1。
③当a>1/2时，在(-∞，a)上，f(x)=f1(x)，先减后增；在[a，+∞)上，f(x)=f2(x)，为增函数。
所以f(x)min=f1(1/2)=(1/2)²-(1/2)+a+1=(3/4)+a。
综上所述，
当a<-1/2时，f(x)min=(3/4)-a。
②当-1/2≤a≤1/2时，f(x)min=a²+1。
③当a>1/2时，f(x)min=(3/4)+a。

Answer 2

f(x)=x²＋|x-a|+1
分析各项可知，每一项都是非负数。 则当x²=|x-a|=0时f(x)取得最小值1，此时x=a=0.

追问

绝对值中的不要分类讨论吗？