Question

一个众所周知的命题是：三角形ABC三边BC,CA,AB的中点依次为A1\B1\C1

一个众所周知的命题是：三角形ABC三边BC,CA,AB的中点依次为A1\B1\C1，则线段A1B1，B1C1，C1A1把三角形ABC分成四个面积相等的三角形，现请你证明它的逆命题：在三角形的边BC，CA与AB上取点A1.B1.C1.A1B1，B1C1，与C1A1分三角形ABC为四个面积相等的三角形。求证：A1,B1，C1是三角形ABC各边的中点。
讲得详细一些，有追加的分，谢谢

Answer 1

我是死算的
证明：
对三边都进行2（m+n）等分，设AC1取2m等分
C1B取2n
等分
以三角形AC1B1为例AB1与AC1上的高是成比例的，所以面积可以用AC1*AB1*常数来表示=1/4三角形的面积=（m+n）（m+n）*常数，常数是相同的可以约去，同理可知B1C*CA1=A1B*BC1=
（m+n）（m+n）
由此可得
AB1=（m+n）（m+n）/2m
B1C=（m+n）（3m-n）/2m
CA1=（m+n）2m/（3m-n）
A1B=（m+n）2（2m-n）/（3m-n）
则A1B*C1B=(m+n)(m+n)
化简得到3（m-n）（m-n）=0
故m=n
，所以A1,B1，C1是三角形ABC各边的中点

Answer 2

因为A1C1，A1B1，A1C1将三角形ABC分成了四个面积相等的三角形，三角形的面积公式是底x高/2那么，三角形AC1B1与三角形A1B1C1的面积相等且同底，那么它们的高就想等，而且这两个三角形的高之和就是三角形abc的高，所以B1C1/BC=AC1/AB=1/2,那么C1就是三角形ABC，AB边得中点，同理证明其它两点！

追问

行不通的，虽然知道三角形AC1B1与三角形A1B1C1的高相等，但它们的高之和不一定是abc的高，因为你误认为c1b1平行于bc了。