Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

解：取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面AC
∴PM⊥平面AC
又∵MN?平面AC
∴PM⊥MN，
又∵MN⊥AD
故以M点为原点建立如图所示的坐标系，由AB=2，PA=PD=3得：
M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2

2

）
（1）直线PB的方向向量为

PB

=（2，1，2

2

），直线DC的方向向量为

DC

=（2，0，0）
设直线PB与直线DC所成的角为θ，则
cosθ=

| PB ? DC |

| PB |?| DC |

=

4

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