Question

如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交⊙O

如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交⊙O于F，连接AF．（1）求证：PD?PE=PB?PC；（2）求证：PE∥AF；（3）连接AC，若AE：AC=1：2，AB=2，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，
∴AO⊥PA．
∵PD⊥AB，
∴

PA

PE

=cos∠APE=

PD

PA

．
∴PA²=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线，
∴PA²=PB×PC…②
联立①②，得PD?PE=PB?PC；

（2）证明：∵PD?PE=PB?PC（已证），
∴

PB

PD

＝

PE

PC

，
∵∠BPD为公共角，
∴△BDP∽△EPC，
∴∠PBD=∠PEC，
∵四边形ABCF内接圆，
∴∠ABP=∠AFC，
∴∠AFC=∠PEC，
∴PE∥AP；

（3）解：∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠PCA，
∵∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

…①，
∵∠PAE=∠ADP=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∠APD+∠AEP=90°，
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE，
∵∠ABP=∠F，
∴△AEF∽△APB，
∴

EF

PB

=

AE

AP

，即

EF

AE

=

PB

PA

…②
联立①②，有

EF

AE

=

AB

AC

，
∴EF=AE×

AB

AC

=

1

2

×2=

2

．