Question

已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程ax2+bx-c=0是关于x的一元二次方程．（1）判断方程a

已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，方程ax2+bx-c=0是关于x的一元二次方程．（1）判断方程ax2+bx-c=0的根的情况为______（填序号）；①方程有两个相等的实数根； ②方程有两个不相等的实数根；③方程无实数根； ④无法判断（2）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，直径BD⊥AC于点E，且∠DAC=60°，求方程ax2+bx-c=0的根；（3）若x=14c是方程ax2+bx-c=0的一个根，△ABC的三边a、b、c的长均为整数，且ac-4b＞0，试求a、b、c的值．

Answer 1

（1）△=b²-4a?（-c）=b²+4a?c，
∵a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，即a、b、c都是正数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选②；
（2）连接OA，如图，
∵BD⊥AC，
∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，
∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OB=2，
∴AE=

3

2

OB=

3

，
∴AC=2AE=2

3

，
即a=2，b=2

3

，c-2，
方程ax²+bx-c=0变形为2x²+2

3

x-2=0，
整理得方x²+

3

x-1=0，
解得x₁=

? 3 ? 7

2

，x₂=

? 3 + 7

2

；
（3）把x=

1

4

c代入ax²+bx-c=0得a?

c2

16

+b?

1

4

c-c=0，
整理得

ac

4

=4-b，则4-b＞0，
即b＜4，
∵a、b、c的长均为整数，
∴b=1，2，3，
当b=1时，ac=12，则a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；
当b=2时，ac=8，则a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三边的关系，舍去；
当b=3时，ac=4，则a=1，b=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三边的关系，
∴a=2，b=3，c=2．