Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求f（x

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在(0，12)上无零点，求a最小值；（3）若对任意给定的x0∈（0，e]，关于x的方程f（x）=g（x0）在x∈（0，e]恒有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=

x?2

x

，
由f′（x）＞0可得单调增区间为（2，+∞）；由f′（x）＜0可得单调减区间为（0，2）；
（2）f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx
令m（x）=（2-a）（x-1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，则f（x）=m（x）-h（x），
①当a＜2时，m（x）在（0，

1

2

）上为增函数，h（x）在（0，

1

2

）上为增函数，
结合图象可知，若f（x）在（0，

1

2

）无零点，则m（

1

2

）≥h（

1

2

），
即（2-a）×（

1

2

-1）≥2ln

1

2

，∴a≥2-4ln2，
∴2-4ln2≤a＜2．
②当a≥2时，在（0，

1

2

）上，m（x）≥0，h（x）＜0，
∴f（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

）上无零点．
由①②得a≥2-4ln2．
∴a_min=2-4ln2；
（3）g′（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又∵g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
∵f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，∴f′（x）=

(2?a)x?2

x

．
当x＝

2

2?a

时，f'（x）=0，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，故0＜

2

2?a

＜e，即a＜

2

2?e

．
此时，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下：

x	(0， 2 2?a )	2 2?a	( 2 2?a ，e]
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	最小值	↗

对任意给定的x₀∈（0，e]，关于x的方程f（x）=g（x₀）在x∈（0，e]恒有两个不同的实根，
需使

f( 2 2?a )≤0 f(e)≥1

，即

1 2 a+ln(2?a)?ln2≤0 a≤2? 3 e?1

下证：当a≤2-

3

e?1

时，

1

2

a+ln（2-a）-ln2≤0恒成立，
设t（x）=

1

2

x+ln（2-x）-ln2，x≤2-

3

e?1

，
则t′（x）=

x

2(x?2)

，
当x∈（-∞，0）时，t′（x）≥0，x∈（0，2-

3

e?1

）时，t′（x）＜0．
∴t（x）≤t（0）=0．
∴

1

2

a+ln（2-a）-ln2≤0恒成立，
又∵2-

2

e

＞2-

3

e?1

，
∴a≤2-

3

e?1

．
综上，得a∈（-∞，

3

e?1

]．