Question

已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点(1,1)能否作直线l，

已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1） ;（2）直线l不存在,理由详见解析

试题分析：（1）设出弦的两端点，代入双曲线方程，作差即可得到弦所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程。（2）同（1）中方法可求得弦所在直线方程，代入双曲线，消掉y（或x）整理出关于x的一元二次方程，看判别式。若判别式大于等于0，则所求直线存在，否则不存在。 试题解析：（1）设弦的两端点为 ，因为A(2,1)为中点，所以 。因为 在双曲线上所以 ，两式相减得 ，所以 ,所以 ， 所以所求弦所在直线方程为 ，即 。 将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验 （2）假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，因为 ，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在。