Question

设f(x)=(-2^x+a)/(2^（x+1）+b)

设f(x)=(-2^x+a)/(2^（x+1）+b)(a,b为实常数)
(1)设f(x)是奇函数，求a,b
(2)当f(x)是奇函数时，证明对任何实数x,c都有f(x)<c^2-3c+3成立

劳烦帮忙解答！

Answer 1

设f(x)=(-2^x+a)/(2^(x+1)+b)
【(1)设f(x)是奇函数，求a,b】
若f(x)为奇函数
则f(x) = -f(-x)
知道(-2^x+a)/(2^(x+1)+b) = -(-2^(-x)+a)/(2^(-x+1)+b)
即2-2a*2^(x)+b*2^(-x)-ab = -2+2a*2^(-x)-b*2^(x)+ab
所以，
-2a = -b
b = 2a
2-ab = -2+ab
所以，解得
a=1，b=2或a=-1，b=-2

【(2)当f(x)是奇函数时，证明对任何实数x,c都有f(x)<c^2-3c+3成立】
当f(x)是奇函数时,a=1，b=2时，
f(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+2)
=(1/2)*(-2^x+1)/(2^x+1)
=(1/2)*(-2^x-1+2)/(2^x+1)
=(1/2)*[-1+ 2/(2^x+1)]
因为，2^x∈(0,+∞)
所以，2^x+1∈(1,+∞)
所以，2/(2^x+1)∈(0,2)
所以，(1/2)*[-1+ 2/(2^x+1)]∈(-1/2,1/2)
若要证明对任何实数x,c都有f(x)<c²-3c+3成立
即证明，c²-3c+3>f(x)max
即证明，c²-3c+3>1/2
所以，要证明c²-3c+5/2>0恒成立
因为⊿=(-3)²-4*(5/2)= -1<0
所以，c²-3c+5/2>0恒成立
命题得证。

当f(x)是奇函数时,a=-1，b=-2时，
f(x)=(-2^x-1)/(2^(x+1)-2)
=(-1/2)*(2^x+1)/(2^x-1)
=(-1/2)*(2^x-1+2)/(2^x-1)
=(1/2)*[1+ 2/(2^x+1)]
因为，2^x∈(0,+∞)
所以，2^x+1∈(1,+∞)
所以，2/(2^x+1)∈(0,2)
所以，(-1/2)*[1+ 2/(2^x+1)]∈(-3/2,-1/2)
若要证明对任何实数x,c都有f(x)<c²-3c+3成立
即证明，c²-3c+3>f(x)max
即证明，c²-3c+3>-1/2
所以，要证明c²-3c+7/2>0恒成立
因为⊿=(-3)²-4*(7/2)= -5<0
所以，c²-3c+7/2>0恒成立
命题得证。

希望采纳~~~

Answer 2

楼上的第一问有些问题，应为一开始不能保证0在定义域，即不能f(0)=0
(1)根据f(-x)=-f(x)化简得：4-2ab=(2a-b)(2^x+2^-x)要使得与x无关，只能2a-b=0,4-2ab=0,联立解得：
a=1,b=2或者a=-1,b=-2
(2)f(x)<c^2-3c+3成立只需保证f(x)的最大值比f(c)=c^2-3c+3的最小值都成立即可