Question

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x?12x+1．（Ⅰ）求f（x）在

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x?12x+1．（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x）=

2?x?1

2?x+1

=

1?2x

2x+1

，
∴f(x)＝

2x?1

2x+1

，x∈（-1，0）．…（3分）
又由奇函数得f（0）=0．
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0．　…（5分）
∴f(x)＝

2x?1 2x+1 ，x∈(?1，1) 0，x＝±1

．   …（7分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1），
m=

2x?1

2x+1

=

2x+1?2

2x+1

=1-

2

2x+1

，…（10分）
∴2^x∈（1，2），
∴1?

2

2x+1

∈(0，

1

3

)．
即m∈(0，

1

3

)． …（13分）