Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（aπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在圆x2+y2=3的内部，求正数a的取值范围．

Answer 1

（1）由图可知，A=-

2

，

T

4

＝

7π

12

?

π

3

＝

π

4

，
∴T=π，则

2π

ω

＝π，ω=2．
由五点作图的第三点得：2×

π

3

+φ=π，φ=

π

3

，符合|φ|＜

π

2

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）f（aπx）=

2

sin（2aπx+

π

3

），
该函数图象是把y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，然后把图象上点的横坐标变为原来的

1

2aπ

，
再把图象上点的纵坐标扩大到原来的

2

倍得到的，
∴要使函数f（aπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在圆x²+y²=3的内部，
则需至少一个最低点（-

5

12a

，

2

）在圆x²+y²=3的内部，
即(?

5

12a

)2+(

2

)2≤3，解得：a≤?

5

12

或a≥

5

12

，
∴正数a的取值范围是[

5

12

，+∞）．