Question

（2011?成华区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度

（2011?成华区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动，设运动时间为t（s），连接EF、CE，当t为______秒时，CE+EF最小，其最小值是______．

Answer 1

如图作C关于AB的对称点D，连接AD，作F关于AB的对称点Z，连接BZ，CZ，CZ交AB于E，连接EF，
则此时CE+EF的值最小，过C作CH⊥ZB，交ZB的延长线于H，
则Z在BD上，BF=BZ，EF=EZ
即CE+EF=CE+EZ=CZ，
∵F和Z关于AB对称，
∴∠FBE=∠ZBE=60°，
∴∠CBH=180°-60°-60°=60°，
∵在Rt△CHB中，BC=2，∠BCH=90°-60°=30°，
∴BH=

1

2

BC=1，由勾股定理得：CH=

3

，
在Rt△CZH中，由勾股定理得：CZ=

( 3 )2+(1+1)2

=

7

，
过D作DQ∥AB交EZ延长线于Q，连接CD交AB于M，
∵BD=BC=2，BZ=BF=1，
∴DZ=2-1=1=BZ，
∵DQ∥BE，
∴△BEZ∽△DQZ，
∴

BZ

DZ

=

EZ

ZQ

，
∴EZ=ZQ=EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∴BC=2，
∴AB=2BC=4，由勾股定理得：AC=2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×CM，
∴CM=

3

，
∴DM=CM=