Question

（2011?九江模拟）在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2

（2011?九江模拟）在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：DF⊥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接FM，CM，
在△ABE中，F，M分别EB，AB的中点，∴FM∥

1

2

AE，且FM=

1

2

AE．
又∵CD∥AE，CD＝

1

2

AE，∴FM平行且等于CD，
∴四边形FMCD为平行四边形，∴DF∥CM，又∵CM?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（II）证明：∵AC=BC，M为AB的中点高衫悔，∴CM⊥AB，又AE⊥平面ABC，
CM?平戚正面ABC，∴CM⊥AE． 又AE∩AB=A，∴CM⊥面ABE，由（1）得DF∥CM，
∴DF⊥平面ABE．
（III）解：∵塌正CD∥AE，∴V_{三棱锥D-BCE} =V   _{三棱锥E-BCD} =V_{三棱锥A-BCD}，
∴V三棱锥D?BCE＝

1

3

S△BCD?AC＝

1

3

×

1

2

×1×1×1＝

1

6

．