Question

在四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC垂直BD，顺次连接ABCD

在四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC垂直BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…………如此进行下去得到四边形AnBnCnDn
（1）证明四边形A1B1C1D1是矩形
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积
（4）求四边形A5B5C5D5的周长

Answer 1

（1）证明：在三角形ABC中，A1B1是中位线，因此，A1B1//AC，同理可证，C1D1//AC，因此，A1B1//C1D1；显然，使用同样的方法，可证A1D1//B1C1，因此，A1B1C1D1是一个平行四边形，而AC和BD垂直，且A1B1//AC，A1D1//BD，因此，A1B1与A1D1也垂直，由此可知A1B1C1D1是矩形，证毕。
（2）首先求ABCD的面积，设AC与BD相交于O点，ABCD面积=ABD面积+BCD面积=0.5×BD×AO+0.5×BD×CO=0.5×BD×（AO+CO）=0.5×BD×AC=0.5×8×6=24；然后来分析ABDE面积与A1B1C1D1面积的关系。显然，A1B1C1D1面积=ABCD面积-A1BB1面积-B1CC1面积-C1DD1面积-D1AA1面积。而我们看到，由中位线定理，可知在三角形ABC中，A1B1=0.5AC，且A1B1等分BO，因此A1BB1面积=0.5×（0.5×BO）×（0.5×AC）=0.25×（0.5×BO×AC）=0.25×ABC面积。同理可知，C1DD1面积=0.25×ACD面积，因此A1BB1面积+C1DD1面积=0.25×（ABC面积+ACD面积）=0.25×ABCD面积。同理，D1AA1面积+B1CC1面积=0.25×ABCD面积，因此A1B1C1D1面积=ABCD面积-（0.25×ABCD面积+0.25×ABCD面积）=0.5×ABCD面积=12。上述推导过程具有普遍性，一个任意四边形的四条边中点连线所构成的新四边形，其面积应为原四边形的一半，因此，A2B2C2D2面积=0.5×A1B1C1D1面积=6。
（3）由（2）中的推导可知，AnBnCnDn面积应表示为ABCD面积×0.5^n=24×0.5^n。
（4）由中位线定理可知，AnBnCnDn的周长=An-1Bn-1Cn-1Dn-1的两条对角线长度的和=An-1Cn-1+Bn-1Dn-1，而当n>1时，AnBnCnDn均为平行四边形，因此显然，AnCn+BnDn=0.5×An-1Bn-1Cn-1Dn-1的周长，故A5B5C5D5的周长=A4C4+B4D4=0.5×A3B3C3D3的周长，同理可得，A3B3C3D3的周长=0.5×A1B1C1D1的周长。因此A5B5C5D5的周长=0.25×A1B1C1D1的周长=0.25×（AC+BD）=3.5。
回答完毕~~~

追问

24×0.5^n 是神马意思？

追答

0.5^n的意思就是0.5的n次方，这里打公式比较费劲，所以借用了计算机语言的表示方法。24×0.5^n就是24乘以0.5的n次方的意思。