Question

求一点的运动轨迹解析式。

平面直角坐标系内如果x轴上一个点(0,0)距离另一固定点(r,0)的距离是r，这一点以匀速v匀角速度绕固定点(r,0)运动，那么它的运动轨迹应该是个正圆，其轨迹解析式为：r∙sin⁡[Arcos(1-x/r) ]±y=0或x±{r-r∙cos[Arsin(y/r) ] }=0。
平面直角坐标系内如果x轴上一个点A(0,0)距离另一点B(r,0)的距离是r，B以v1沿x轴直线向右匀速运动，A以匀速v且匀角速度绕B顺时针运行，求这个图像的解析式。
r、v1、v都是常量，且v>v1

Answer 1

可以设参数方程

时间设为t

有B(r+v1t,0)

向量OB=(r+v1t,0)

题目中说A以匀速v且匀角速度绕B顺时针运行

而角速度就是线速度除以半径，所以A和B的距离保持不变的

速度是v，角速度就是v/r

任意时刻BA向量=(-rcos(vt/r)，rsin(vt/r))

所以向量OA=OB+BA=(r+v1t-rcos(vt/r),rsin(vt/r))

于是

x=r+v1t-rcos(vt/r)

y=rsin(vt/r))

只能得到参数方程，这里x里面含有关于t的超越函数，不可能有初等解的

为了便于作图，取一下特殊的值

设A的角速度是π/4rad/s，令vt/r=πt/4=θ

速度v1设为π/8  那么v1t=πt/8=θ/2

半径r设为1

那么x=1+θ/2-cosθ    y=sinθ

根据参数方程可以画出轨迹图

根据常识，假如B的速度非常小，几乎不动了的话，A的轨迹就更像个圆了

比如上面θ/2代表的就是B的速度，如果非常小的话就是圆的参数方程

我们再取x=1+θ/5-cosθ    y=sinθ 画一组图对照下

追问

A点的速度应该是相对直角坐标系匀速的，而不是相对B点匀速的，而且又要求角速度恒定，那么A、B两点的距离就不是恒定的r，所以还存在着点问题。

追答

我考虑问题简单了
A点运动的角速度不变
所以任意相等时间内速度变化的方向是一样的，
一开始速度是和Y轴平行的，所以设一下过了时间t，角速度是ω
那么速度转过的角度ωt，和B点的距离设是R
这时候A点相对于B点速度是(ωRsinωt，ωRcosωt)
B的速度是(v，0)
那么A相对于坐标轴的速度是(ωRsinωt+v，ωRcosωt)
所以(ωRsinωt+v)²+(ωRcosωt)²=v1²
ω²R²+2ωvsin(ωt)R+v²-v1²=0
二次方程可以解出来R，二次根式太难打了，我就不算了
这里我还是取一些特殊点
令ω=1 v=1 v1=2 ωt=θ
方程是R²+2sinθR-3=0
另外t=0的时候R=r 我的模型r=√3
R=-sinθ+√(sin²θ+3)
任意时刻BA向量=(-Rcosθ，Rsinθ)=(sinθcosθ-cosθ√(sin²θ+3)，-sin²θ+sinθ√(sin²θ+3))
向量OB=(r+vt,0)=(√3+θ,0)
所以向量OA=OB+BA=(√3+θ+sinθcosθ-cosθ√(sin²θ+3)，-sin²θ+sinθ√(sin²θ+3))
所以参数方程就是
x=√3+θ+sinθcosθ-cosθ√(sin²θ+3)
y=-sin²θ+sinθ√(sin²θ+3)
下面是图像。。

Answer 2

xB= r + v1 * t , xA = xB - r cos(v t), yB = r sin(v t)
=> 点A的运动轨迹为：
[ x - ( r + v1 * t) ] ^2 + y^2 = r^2

追问

没有这么简单~

Answer 3

法1A的速度大小不变，则总可以这样设dx/dt=vcosθ,dy/dt=vsinθ,其中θ=θ(t)
根据伽利略相对性原理A对B的速度为dx'/dt=vcosθ-v1,dy'/dt=vsinθ，合速度为sqr(（dx'/dt）^2+(dy'/dt)^2),令其为v'则A对B的角速度w=v'/R=v'/(r+v1t)
因为w不变，所以dw/dt=0,这是一个很复杂的微分方程，不容易获得解析解，可以使用数值解法。
法2A对B的角速度不变则A的速度方程总是dx/dt=v1+wRcos(π+wt),dy/dt=wRsin(π+wt),其合速度为v，则可以求得R关于t的函数（解一个一元二次方程），我解出来是（-cos（π+wt）+sqr((cos^2(π+wt)-w^2(v1^2-v^2)))）/w^2,因为t=0时R=r，则w可以求出，反代入速度方程，再进行一次积分，结合初值条件x和y的带参t的方程随之求得。计算繁复，就不算了，不过不算复杂。

Answer 4

以B为中心点（v t,r)，进行x和y的三角分解即可。

方程及示意图：

追问

有一点问题，您可能没有考虑到点A要以匀角速度绕点B运动，这样点A和点B间的距离就一定不是恒定的r。

追答

明白了，修正了一下，看怎样。

追问

题目要求点A绕着点B顺时针运动，所以图像将会出现在x轴上下。
谢谢了!

追答

顺时针的