Question

已知点A、B、C的坐标分别为A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，α∈[π/3,4π/3].

(1)若t=4，向量AC乘向量BC=-2，求（2sin²α+sin2α）/（1+tanα）的值；
（2）记f（x）=向量AC的模，若f（α）的最大值为3，求实数t的值。

Answer 1

由题知，A(t,0)，B(0,4)，C(cosα,sinα)
【(1)若t=4，向量AC乘向量BC=-2，求（2sin²α+sin2α）/（1+tanα）的值】
若t=4，A(4,0)
所以，
向量AC=(cosα-4,sinα)
向量BC=(cosα,sinα-4)
所以，向量AC乘向量BC=(cosα-4)cosα+(sinα-4)sinα=-2
所以，cosα+sinα=3/4
(2sin²α+sin2α)/(1+tanα)
=(2sin²α+2sinαcosα)/(1+sinα/cosα)
=2sinαcosα(sinα+cosα) / (sinα+cosα)
=2sinαcosα
=(cosα+sinα)²-(cos²α+sin²α)
=(3/4)²-1
=-7/16

【(2)记f（x）=向量AC的模，若f（α）的最大值为3，求实数t的值。】
向量AC=(cosα-t,sinα)
所以，
f(α)=√[(cosα-t)²+sin²α]
=√[1+t²-2cosα*t]
若t>0
f(α)max=√[1+t²+2t]=3
所以，t=2
若t<0
f(α)max=√[1+t²-2t]=3
所以，t=-2
综上，t=+2或-2

希望采纳~~~

Answer 2

（1）向量AC乘向量BC=1-4sinα=2
所以sinα=-1/4 α∈[π/3,4π/3].得α∈[π,4π/3]. cosα=-√15/4
（2sin²α+sin2α）/（1+tanα）=（2sin²α+2sinαcosα）/（1+sinα/cosα）
=（2sin²αcosα+2sinαcos^2α）/（cosα+sinα）
=2sinαcosα
=√15/8
（2）
向量AC=(cosα-t,sinα)
f(x)^2=(cosα-t)^2+sin^2α
=1+t^2-2tcosα
α∈[π/3,4π/3].则cosα最大为1/2，最小为-1
所以，当t>0时，cosα取最小值时，f(x)^2最大
1+t^2+2t=9
得t=2或-4(舍去)
当t<0时，cosα取最大值时，f(x)^2最大
1+t^2-t=9
得t=（1-√33）/2或（1+√33）/2(舍去)
综合可得t=（1-√33）/2或2