Question

如图，D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等

如图，D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c。
（1）.求AE和BD的长。
（2）.若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE·BD

Answer 1

∵△ABD与△ACD的周长相等
∴AE+BE+BD=CD+AC=1/2△ABC周长
∵△CAE与△CBE的周长相等
∴AE+AC=BE+BC=1/2△ABC周长
∴AE+AC=BE+BC=AE+BE+BD=CD+AC
∴AE=CD;BE+BD=AC
设AE=X
则CD=X;BD=a-X;BE=c-X
∵BE+BD=AC
∴(c-X)+(a-X)=b
=(a+c-b)/2=X…（1）
∴AE*BD
=X(a-X）
把（1）代入
=（a+c-b)/2(a-(a+c-b)/2)
化简
=(a^2+(b-c)^2)/4…（2）
∵角A=90度
∴c^2+b^2=a^2…（3）
把（3）代入（2）
得∴(c^2+b^2+(b-c)^2)/4
化简=b*c/2
∵S=b*c/2
所以S=AE*BD