Question

已知关于x的函数f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc,其导函数为f'(x).令g(x)=lf'(x)l,

已知函数f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc,其导函数为f'(x).令g(x)=|f'(x)|,记函数g(x)在区间[-1,1]的最大值为M。
（1）如果函数f(x)在x=1处有极限值-4/3，试确定b,c的值，
（2）若|b|>1，证明对任意c都有M>2.
(3)若M>=k对任意的b,c恒成立。试求k的最大值。
我第一题怎么算的是b=1,c=-1,对不？

Answer 1

我来试试吧...做完睡觉...

解：(1)f(x)=-1/3x^3+bx^2+cx+bc
f'(x)=-x²+2bx+c
由题，f'(1)=-1+2b+c=0
f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3
bc+b+c+1=(b+1)(c+1)=0,b=-1或c=-1
若b=-1,-1-2+c=0,c=3
若c=-1，-1+2b-1=0,b=1
故(b,c)=(-1,3)或(1,-1)
(2)g(x)=|f'(x)|=|-x²+2bx+c|
由题，x∈[-1,1]，g(x)max=M
|b|>1,f'(x)对称轴x=b∉[-1,1]
故f'(x)在[-1,1]上单调
则M=g(x)max=|f'(x)|max=max{|f'(1)|,|f'(-1)|}
M≥|f'(1)|，M≥|f'(-1)|
M≥1/2[|f'(1)|+|f'(-1)|]=1/2[|-1+2b+c|+|-1-2b+c|]
≥1/2|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=2|b|>2
(3)取b=0,c=1/2则M=1/2，故k≤1/2
下证明k=1/2可行
设h(x)=-x²+2bx+c
h(1)=-1+2b+c,h(0)=c
b=(h(1)-h(o)+1)/2
故h(x)=-x²+[h(1)-h(o)+1]x+h(0)
g(x)=|-x²+[h(1)-h(o)+1]/x+h(0)|
需证k=1/2时，M≥k在[-1,1]上恒成立，
即 假设存在b,c使得g(x)在[-1,1]上的最大值<1/2
则g(1)=|h(1)|<1/2，g(0)=|h(0)|<1/2，g(-1)=|h(-1)|<1/2
2=4k>g(1)+g(-1)+2g(0)=|h(1)|+2|h(0)|+|-1-[h(1)-h(o)+1]+h(0)|
≥|h(1)-2h(0)+2h(o)-2-h(1)|=2,矛盾
因此，k=1/2,时M≥k在[-1,1]上恒成立
综上，kmax=1/2

Answer 2

如果f(x)有“极限”值，那么这个函数不是3次多项式吧？分母上有x？我觉得你的第一个1/3让别人搞不清后面到底在分子还是分母上

追问

x在分母上了当然

追答

你这样写谁也不知道你分子分母上分别是啥

Answer 3

哎，很久没做数学了，但是凭直觉：
第一题：f(1)=--4/3,及f'(1)=0，两个未知数，两个方程，你应该可以得到两组解，然后，更具g(x)在区间有最大值这一个条件，可以去掉一组解

Answer 4

ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg