Question

求教一道物理题，高三的，关于动量守恒和天体运动的。

用火箭发射人造地球卫星，假设最后一节火箭的燃料用完之后，火箭壳体和卫星一起以v=7000（米每秒）绕地球做匀速圆周运动；已知卫星质量m1=500（千克），最后一节火箭壳体的质量m2=100（千克）；某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度u=1800（米每秒）。试分析计算：分离后卫星的速度增加到多大？火箭壳体的速度为多大？分离后它们将如何运动？

这道题用动量守恒是可以求出来的，求得V1=7300（米每秒），V2=5500（米每秒）。我的问题是——求得两者速度后怎样分析两者的运动轨迹？卫星肯定是做圆周运动，而火箭壳体计算得也应该是做圆周运动，但是答案上和老师讲的都是火箭壳体的轨道半径会不断降低，最后在大气层中被烧毁。为什么？怎样计算分析？
求教，谢谢大家。
常识看来也应该是火箭壳体会不断下降，但是我觉得物理是门严谨的课，这个现象应该是可以计算分析出来的，所以，求教大家怎样计算分析？

Answer 1

由题意，v2小于v1,地球外每一个轨道的速度是定值，分离后的火箭壳体速度（v2必须等于v1才可以）不足以提供他在这个轨道运动的动能（速度不够嘛），在万有引力的作用下，火箭壳体的轨道高度将不断降低，地球对它的引力做正功，万有引力势能减小，动能将增大，最后将在大气层中烧毁，这样才动量守恒嘛，语言是这样的，可以用公式组织下、、、

追问

那为什么不可以是火箭壳体在下降一定高度后以一新的高度轨道继续做圆周运动？

追答

下降一定高度后以一新的高度轨道继续做圆周运动的前提是必须到达一定的速度，而在本题中从分离那一刻后，速度必须在7km/s-7.9km/s(第一宇宙速度)之间才可以重新稳定在一个轨道上,而火箭壳体速度远远达不到要求，除非牺牲一些火箭燃料，（当然科学家也不会让壳体留在外太空做太空垃圾的，呵呵。这个是题外话啦）火箭壳体的轨道高度的降低，导致实际所受向心加速度不断增大，始终大于做圆周运动所需要的，所以火箭壳体的轨道高度一直降低，继续做半径不断减小的运动，一直到达大气层，然后急剧摩擦生热烧毁、、、

Answer 2

因为火箭壳体的速度没达到第一宇宙速度 约为7．9千米／秒，而且这道题目中卫星速度也没达到....怪！

Answer 3

由原题内：火箭壳体和卫星一起以v=7000（米每秒）绕地球做匀速圆周运动，可知
在题中轨道所受重力加速度恰能满足v=7000m/s 的圆周运动向心加速度需求
分离后，卫星的速度V1=7300m/s ，所在地重力加速度不足以提供其圆周运动的需求，所以离心，做椭圆运动。
火箭壳体的速度 V2=5500m/s ,实际向心力大于运动所需，火箭壳体做近心运动，即运动半径减小，减小过程中，实际所受向心加速度增大，运动速度增大（势能减小），根据定量计算可发现，实际加速度仍大于运动所需，继续近心运动，直到高速到达大气层，急剧摩擦生热烧毁

追问

那为什么不可以是火箭壳体在下降一定高度后以一新的高度轨道继续做圆周运动？也就是说，火箭壳体恰好进入大气层是有一个速度V3的，意思是V3应该是大于5500m/s的？这个速度是多少？

追答

1、降落到相应位置并不一定能与预期圆轨道相切
2、至于为什么不可以是火箭壳体在下降一定高度后以一新的高度轨道继续做圆周运动？
火箭壳体向地球靠近过程中，机械能守恒，势能减小量等于动能增加量（势能Ep=- GMm/r）
动能增加后所需向心力也要增大，而实际引力按F=- GMm/r^2 变化，始终不能使F=mV^2/r
所以不可能圆周运动