Question

已知a、b都是实数,且a^3+b^3=2,求a+b的最大值

Answer 1

我来试试吧...

解：2=a^3+b^3=(a+b)[a²-ab+b²]=(a+b)[(a+b)²-3ab]
均值不等式 ab≤[(a+b)²/2]
2=(a+b)[(a+b)²-3ab]≥(a+b)[(a+b)²-3/4(a+b)²]
=(a+b)³/4
故a+b≤2 （a=b=1取等）

追问

“均值不等式 ab≤[(a+b)²/2]”可以再详细点吗

追答

可以 (a-b)2=a2+b2-2ab≥0
故 2ab≤a2+b2
(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab
从而 ab≤[(a+b)2/2]
去等时 a=b

追问

应该是ab≤（(a+b)^2/4）吧

追答

恩对 平方在外面....[(a+b)/2]2

Answer 2

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=2
a+b=2/(a²-ab+b²)=2/[(a+b)²-3ab]≤2/[(a+b)²-3/4(a+b)²]=8/(a+b)²
(a+b)³≤8,故a+b的最大值为2，当且仅当a=b=1时等号成立
均值不等式 ab≤[(a+b)²/4]≤(a²+b²)/2可以用作差法证明，今后都可直接运用

Answer 3

1楼的厉害了。

算术平均≥几何平均。

好好看看楼上的吧。