Question

如图,在△ABC中,以AB为直径的圆O交BC于点P，PD⊥AC于D，且PD与圆O相切。 1.求证：AB=AC

2若BC=6，AB=4，求CD的值

Answer 1

连接OP,由于相切则OP⊥PD，又PD⊥AC，则OP平行于AC，那么OB/OP=AB/AC,OP与OB均为半径，相等，那么AB=AC.
求值则需要用到余弦定理，在三角形ABC中，设定角A、B、C的对边分别为a、b、c，那么B角的余弦等于（a²+c²-b²）/2ac，运用到三角形OBP中，B角的余弦=(OB²+BP²-OP²）/(2*OB*BP)=3/4
因为AB=AC，那么角C的余弦=角B余弦=3/4,在直角三角形PCD中，角C的余弦=CD/CP=3/4,
由上面的相似三角形不难得出OB/AB=BP/BC=1/2，那么PC=BC-BP=3，所以CD=9/4.

Answer 2

1、连接OP,由于相切则OP⊥PD，又PD⊥AC，则OP平行于AC，那么OB/OP=AB/AC,OP与OB均为半径，相等，那么AB=AC.
2、连接AP，
易知，△CDP相似于△CPA，
所以，CD\CP=CP\AC
即CD\3=3\4
所以，CD=9\4

Answer 3

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/6T4.png

Answer 4

连接OP,则OP=OA, 角OPA=角BAP
AP垂直BC
而AB=AC,三角形BAC为等腰三角形
所以,AP平分角BAC
角CAP=角BAP=角OPA
所以: OP平行AC
而PD垂直AC
所以:PD垂直OP
PD是圆O的切线

角CAB＝120°
角BAP=角CAB/2=60°
BP=AB*sin60°=根号3
BC=2BP=2*根号3

Answer 5

连接AP
因为AB为直径，所以∠APB=90度，因为∠B=∠C，所以△CDP相似于△APB，因为△ABC是等腰三角形，所以CP=BP=3,所以CP比AB等于CD比BP，3比4等于CD比3所以CD等于九分之四