Question

如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为

半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．
（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 （用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证： AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）C（2a，0），D（0，2a+8）
方法一：由题意得：A（-4，0），B（0，4），
-4＜a＜0，且a≠2，（
①当2a+8＜4，即-4＜a＜-2时，
AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，
∴AC=BD
②当2a+8＞4，即-2＜a＜0时，
同理可证：AC=BD，
综上：AC=BD
（3）①A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME= 2（yE-yM）= 2[a+6-（a+4）]=2 2（7分）
AB=4 2（8分）
∴AB=2ME；（9分）
②AM= 2（yM-yA）= 2（a+4），BE= 2|yE-yB|= 2|a+2|，（10分）
∵AM=BE，
又-4＜a＜0，且a≠2，
①当-4＜a＜-2时， 2（a+4）=- 2（a+2）
∴a=-3，∴M（-3，1）；（11分）
②当-2＜a＜0时， 2（a+4）= 2（a+2）
∴a不存在；（12分）