Question

用数学归纳法证明：

X^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除。

Answer 1

设x^(2k-1)+y^(2k-1)被 x+y整除，那么x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)被x+y整除
x^(2k-1)+y^(2k-1)=c(x+y)
c,k都是整数
x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)
=x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^(2k-1)x²+y^(2k-1)y²
=c(x+y)-y^(2k-1)x²+y^(2k-1)y²
=c(x+y)-y^(2k-1)(x-y)(x+y)
所以，我们的假设命题成立

只要证明x+y(命题k=1)被x+y整除(不用证了吧这个。。。)，
就推出x³+y³(k=2)...................
然后k=3时命题成立推k=4时命题成立，无限递归

追问

=x^(2k-1)x²+y^(2k-1)y²
=c(x+y)-y^(2k-1)x²+y^(2k-1)y²
不太明白？能推导一下么？

追答

因为一开始假设命题里面有
x^(2k-1)+y^(2k-1)=c(x+y) c,k都是正整数
x^(2k-1)=c(x+y)-y^(2k-1)

然后代换，我在前面c(x+y)好像漏了个x²，不过不影响命题正确性
太困了脑子迷糊了

PS:如果某命题S(k),fork=1,k=2,...k=n都已知正确，且命题S(k)=>S(k+n)，也可以用的
从一开始1~n每个都开始跳，所以n个空隙全都弥补了，一样的道理

追问

谢谢，我明白了。
不过这儿不太明白：PS:如果某命题S(k),fork=1,k=2,...k=n都已知正确，且命题S(k)=>S(k+n)，也可以用的
从一开始1~n每个都开始跳，所以n个空隙全都弥补了，一样的道理

追答

和这题无关

1=＞n+1=＞2n+1。。
2=＞n+2=＞2n+2
n=＞2n=＞3n

12。。n正确已知
腿n+1。。。2n正确
推2n+1。。3n正确
然后一直下去
这个我们老师没讲过，是我考试时在难题悟出来的，觉的挺有用，你记不住可以不记。没关系