Question

【数学】高中数列题，请高手帮忙详细求解！急急急！附图！！

Answer 1

根据题意n＞k时，有S(n+k)+S(n-k)=2(Sn+Sk)①
令n=n+1那么S[n+k+1)+S(n-k+1]=2[S(n+1)+Sk]②
②-①得：[S(n+k+1)-S(n+k)]+[S(n-k+1)-S(n-k)]=2[S(n+1)-Sn]，
即a(n+1+k)+a(n+1-k)=2a(n+1)
当k=3得到n>3的时候 a(n+4)+a(n-2)=2a(n+1)
这里n最小是4，式子里面最小项是a(n-2)=a2，以后每隔3项成等差数列
所以n≥8的时候
a(n-6)，a(n-3)，an，a(n+3)，a(n+6)....成等差数列
⇒2an=a(n-3)+a(n+3)=a(n-6)+a(n+6) (n≥8)③
当k=4的时候得到n>4的时候 a(n+5)+a(n-3)=2a(n+1)
这里n最小是5，式子里面最小项是a(n-3)=a2，以后每隔4项成等差数列
所以n≥8的时候
a(n-6)，a(n-2)，a(n+2)，a(n+6)....成等差数列
⇒a(n-6)+a(n+6)=a(n-2)+a(n+2) (n≥8)④
根据③④得到a(n-2)+a(n+2)=a(n-3)+a(n+3)=2an
⇒a(n-2)+a(n+2)=2an
这里n最小是8，式子里面最小项是6，以后每隔2项成等差数列
于是n≥9的时候
a(n-3)，a(n-1)，a(n+1)，a(n+3)为等差数列
那么a(n-3)+a(n+3)=a(n-1)+a(n+1)
再根据③得到a(n-1)+a(n+1)=2an
所以在n≥9的时候 an成等差数列
当n≥9时，设d=an-an-1，
则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，
从而由③可知，得到2a(n+6)=an+a(n+12)和2a(n+7)=a(n+1)+a(n+13)
两式相减得：2[a(n+7)-a(n+6)]=[a(n+1)-an]+[a(n+13)-a(n+12)]，
那么an+1-an=2d-d=d
因此，an-an-1=d对任意n≥2都成立
所以an是个等差数列
再由
S1+S7=2(S4+S3)
S1+S9=2(S5+S4)
两式相减
S9-S7=2(S5-S3)⇒a8+a9=2(a4+a5)
⇒a4=7d/2
⇒a1=d/2=1⇒d=2
⇒an=2n-1

Answer 2

S(n+k)+S(n-k)=2(Sn+Sk),M={3,4}，则S(n+3)+S(n-3)=2(Sn+S3),S(n+4)+S(n-4)=2(Sn+S4),以上两式相减得：a(n+4)-a(n-3)=2a4，两项差为2a4是固定数说明数列{an}为等差数列，设公差为d，则a(n+4)=a1+(n+3)d，a(n-3)=a1+(n-4)d，a4=a1+3d，代入：a(n+4)-a(n-3)=2a4得：
a1+(n+3)d-a1-(n-4)d=2a1+6d，d=2a1=2，数列{an}的通项公式：an=1+2(n-1)=2n-1.

Answer 3

S(n+k)+S(n-k)=2(Sn+Sk),M={3,4}，则S(n+3)+S(n-3)=2(Sn+S3),S(n+4)+S(n-4)=2(Sn+S4),以上两式相减得：a(n+4)-a(n-3)=2a4,a(n+7)-an=2a4=a(n+6)-a(n-1)
a(n+7)-a(n+6)=an-a(n-1)=2a4

数列为等差数列
计算易德公差为2
an=2n-1