Question

设函数f（x）=x^（-2）e^x-k（x-2lnx） （1）当k=1时，求函数f（x）的最小值

设函数f（x）=x^（-2）e^x-k（x-2lnx）
（1）当k=1时，求函数f（x）的最小值
（2）若函数f（x）在区间（0，4）内存在三个极值点，求k的取值范围

Answer 1

f（x）=x^（-2）e^x-k（x-2lnx）
(1) k=1
f（x）=x^（-2）e^x-（x-2lnx）
f'(x)=x^（-2）e^x-2x^（-3）e^x-1+2/x
f(x)=0
x^（-2）e^x-2x^（-3）e^x+2/x=1
x=2
f(2)=e^2/4-2+2ln2
(2)
f（x）=x^（-2）e^x-k（x-2lnx）
f'(x)=x^（-2）e^x-2x^（-3）e^x-k(1-2/x)
f'(x)=0
x^（-2）e^x-2x^（-3）e^x=k(1-2/x)
x^2(-2)*e^x(1-2/x)=k(1-2x)
(a) x=2
(b) x^2(-2)*e^x=k
e^x=kx^2
k>0, k≠1