Question

已知函数f(x)=a^2+ax+b

(1)当x∈[-1,1]时，f（x）的最大值M，求证：M≥b+1
（2）若a∈（0,1/2），求证：对于任意的x∈[-1,1],|f（x）|≤1的充要条件是a^2/4-1≤b≤-a

Answer 1

1)f(x)=x^2+ax+b
f(1)=1+a+b
f(-1)=1-a+b
a>=0, f(1)>=1+b
a<0. f(-1)>=1+b
M>=max(f(1),f(-1))>=1+b
2)f(x)=(x+a/2)^2+b-a^2/4
a∈（0,1/2），最小值为f(-a/2)=b-a^2/4
最大值在端点取得。因f(1)=1+b+a>1+b-a=f(-1)
所以最大值为f(1)=1+b+a
由|f（x）|≤1得：
-1=<1+b+a<=1--> -2-a=<b<=-a
-1=<b-a^2/4<=1--> a^2/4-1=<b<=a^2/4+1
因为a∈（0,1/2，所以综合有：a^2/4-1≤b≤-a
充分性也由此易证。