Question

在数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=n-an(n=1,2,3...),设bn=an-1,求证数列{bn}是等比数列，

设Cn=bn·(n-n^2)(n=1,2,3...),如果对任意n属于正整数，都有Cn<t/5，求正整数t的最小值

Answer 1

在数列{an}中,a1+a2+a3+...+an=n-an(n=1,2,3...),
所以，a1+a2+a3+...+an+a(n+1)=n+1-a(n+1)
两式相减得到
a(n+1)=1-a(n+1)+an
所以，2a(n+1)=an + 1
所以，2[a(n+1) - 1]=an - 1
即2b(n+1)=bn
所以，数列{bn}是等比数列

n=1时，a1=1-a1，所以，a1=1/2
b1=a1 -1=-1/2
所以，
bn= -(1/2)^n
所以，Cn=bn·(n-n²)=-(1/2)^n · (n-n²)=(n²-n)/(2^n)

因为Cn<t/5对任意n属于正整数恒成立
即 t > 5Cn = 5(n²-n)/(2^n)
所以，t>[5(n²-n)/(2^n)]max

已知，当n=3或4时，5(n²-n)/(2^n)取得最大值为3.75
所以，t>3.75
因为t为整数，
所以，正整数t的最小值为4

希望采纳~~~

追问

为什么“当n=3或4时，5(n²-n)/(2^n)取得最大值为3.75”？

追答

5(n2-n)/(2^n)中5(n2-n)后期的增幅没有(2^n)大

所以，可以预想5(n2-n)/(2^n)先增后减

再代入数据试试

或者对5(n2-n)/(2^n)求导，判断增减性~~~

Answer 2

设Sn为bn的前n项和，由a1+a2+a3+...+an=n-an(n=1,2,3...)得，b1+b2+```+bn=-1-bn.再有Sn-Sn-1=bn,所以，2Sn-Sn-1=-1 故2（Sn+1）=（Sn-1+1） 故可以求的｛Sn+1｝通项，再由Sn-Sn-1=bn求的bn.