Question

证明多项式f(x)=(x^50-x^49 … …+ x^2- x +1)(x^50+ x^49

… +x^2 +x+ 1)的展开式中不含奇数次项

Answer 1

f(x)=[(x^50+x^48+......+x^2+1)-(x^49+x^47+......+x)][(x^50+x^48+......+x^2+1)+(x^49+x^47+......+x)]=(x^50+x^48+......+x^2+1)²-(x^49+x^47+......+x)²
对于(x^50+x^48+......+x^2+1)²，每一项的次数均为偶数，那么任何一项与其他项的积的指数均为：偶数+偶数=偶数。
对于(x^49+x^47+......+x)²，每一项的次数均为奇数，那么任何一项与其他项的积的指数均为：奇数+奇数=偶数。
所以展开式中不含奇数次项。