Question

设函数fx=|x-3|+|2x-4|-a，当a＝6是，解不等式fx＞0 2问，如果关于x的不等式

设函数fx=|x-3|+|2x-4|-a，当a＝6是，解不等式fx＞0

2问，如果关于x的不等式fx＜0得解集不是空集，求实数a的取值范围

Answer 1

解：
第一问
|x-3|+|2x-4|-6>0
⇔x-3+2x-4-6>0且x≥3
⇔3x-13>0且x≥3
⇔x>13/3且x≥3
⇔x>13/3...........①
|x-3|+|2x-4|-6>0
⇔3-x+2x-4-6>0且2<x<3
⇔x-7>0且2<x<3
⇔x>7且2<x<3
⇔∅..................②
|x-3|+|2x-4|-6>0
⇔3-x+4-2x-6>0且x≤2
⇔3x-1<0且x≤2
⇔x<1/3且x≤2
⇔x<1/3.............③
综合①②③，
|x-3|+|2x-4|-6>0的解集是：
(-∞，1/3)∪(13/3，+∞)
第二问
f(x)=|x-3|+|2x-4|-a
定义域：R
值域：1-a
推导如下：
x≥3时，
f(x)
=x-3+2x-4-a
=3x-7-a
∈[2-a，+∞).........④
2≤x<3时，
f(x)
=3-x+2x-4-a
=x-1-a
∈[1-a，2-a)..........⑤
x<2时，
f(x)
=3-x+4-2x-a
=-3x+7-a
∈(1-a，+∞)..........⑥
综合④⑤⑥，得
f(x)=|x-3|+|2x-4|-a的最小值是1-a
若使得 f(x)<0的解集非空
则需1-a<0
∴a>1

追答

PS：
(1)附上y=|x-3|+|2x-4|的图像。
(2)由图像很容易验证上述解题结果的正确性。
(3)来晚了，凑个热闹吧。你采纳楼主们的答案吧。

Answer 2

fx=|x-3|+|2x-4|-6
f(x)=3-x+4-2x-6=-3x+1 x≤2 ①
f(x)=3-x+2x-4-6=x-7 2≤x≤3 ②
f(x)=x-3+2x-4-6=3x-13 x≥3 ③
① f(x)>0 x<1/3
② f(x)>0 无解
③ f(x)>0 x>13/3
(2)
fx=|x-3|+|2x-4|-a
f(x)=3-x+4-2x-a=-3x+7-a x≤2 ①
f(x)=3-x+2x-4-a=x-1-a 2≤x≤3 ②
f(x)=x-3+2x-4-a=3x-7-a x≥3 ③
①单调递减 ②③单调递增
∴f(x)最小值=f(2)=-a+1
当a>1 f(x)最小值<0,f(x)<0的解集不是空集

Answer 3

解：
x≥3时，f(x)=x-3+2x-4-a=3x-a-7
2≤x<3时，f(x)=3-x+2x-4-a=x-a-1
x<2时，f(x)=3-x+4-2x-a=-3x-a+7
(1)
a=6，f(x)>0
令3x-6-7>0，3x>13，x>13/3
令x-6-1>0，x>7，又2≤x<3，不等式无解
令-3x-6+7>0，3x<1，x<⅓
综上，得：x<⅓或x>13/3
不等式的解集为(-∞，⅓)U(13/3，+∞)
(2)
f(x)<0
|x-3|+|2x-4|-a<0
|x-3|+|2x-4|<a
绝对值项恒非负，不等式左边恒非负，要不等式的解集不是空集，a>0
令3x-a-7<a，2a>3x-7，a>(3x-7)/2
x≥3，a>(3·3-7)/2
a>1
令x-a-1<a，2a>x-1，a>(x-1)/2
2≤x<3，½≤(x-1)/2<1
a>½
令-3x-a+7<a，2a>-3x+7，a>(-3x+7)/2
x<2，-3x+7<(-3)·2+7，-3x+7>1
a>1
综上，得：a>½
a的取值范围为(½，+∞)