Question

已知整数x,y,z满足x≤y＜z，且|x+y|+|y+z|+|z+x|=4 |x-y|+|y-z|+|z-x|=2 那么x²+y²+z²的值

这道题，解题细节要写清，最好告诉我解这类有绝对值题的方法

Answer 1

|x-y|+|y-z|+|z-x|
=y-x+z-y+z-x
=2z-2x
=2
z-x=1
所以z与x为相邻整数
又整数x,y,z且x≤y＜z
所以x=y
|x+y|+|y+z|+|z+x|
=2（|x|+|x+z|）
=2(|x|+|2x+1|)
=4
(|x|+|2x+1|)=2
x=-1时，上式成立，y=-1,z=0
x²+y²+z²=1

追问

如果z＜0的话 |z-x|=-z-x？

追答

z>x
所以z-x>0
z大于小于0没有关系
-1-(-2)=1不是一样>0?

Answer 2

因为x≤y＜z
所以：
|x-y|+|y-z|+|z-x|
=y-x+z-y+z-x
=2z-2x
=2
z-x=1
所以z与x为相邻整数

又因为整数x,y,z且x≤y＜z
所以x=y

|x+y|+|y+z|+|z+x|
=2（|x|+|x+z|）
=2(|x|+|2x+1|)
=4
(|x|+|2x+1|)=2
当x>0时，无解。
当x<=0时，
（1）x>-0.5时,无解。
（2）x<-0.5时，解得x=-1
从而y=-1,z=0
x²+y²+z²=1

Answer 3

x=y
否则若x与y相差1，4 |x-y|+|y-z|+|z-x|,就大于等于4
|y-z|+|z-x|=2
2|z-x|=2
|z-x|=1
如果xyz都不是0，那么|x+y|+|y+z|+|z+x|大于2
所以x=y=0,z=1或者z=-1
x²+y²+z²=1

Answer 4

：∵x≤y≤z，
∴|x-y|=y-x，|y-z|=z-y，|z-x|=z-x，
因而第二个方程可以化简为：
2z-2x=2，即z=x+1，
∵x，y，z是整数，
根据条件
|x+y|≤4|x-y|≤2，
则
-4≤x+y≤4-2≤x-y≤2两式相加得到：-3≤x≤3，
两式相减得到：-1≤y≤1，
同理：
|y+z|≤4|y-z|≤2，得到-1≤z≤1，
根据x，y，z是整数讨论可得：x=y=-1，z=0或x=1，y=z=0此时第一个方程不成立，故舍去．
∴x2+y2+z2=（-1）2+（-1）2+0=2．