Question

已知三角形ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c且A-C=90度，a+c=根号2 b，求角C是多少？《注：b不在根号内>

Answer 1

A=C+90，所以sinA=sin(C+90)=cosC
B=180-A-C=90-2C，所以sinB=cos(2C)
a+c=根号2 b，所以sinA+sinC=根号2*sinB,cosC+sinC=根号2*sin(C+45)=根号2*cos(2C)
所以sin(C+45)=cos(2C)=sin(180-2C),所以C+45=180-2C或C+45+180-2C=180，得C=45（舍去，A=135，B=0）或15

追问

为什么“sinA+sinC=根号2*sinB,cosC+sinC=根号2*sin(C+45)=根号2*cos(2C)” 解释下..

追答

正弦定理，你们没学吗?

Answer 2

A-C=90°，可知A>90，C<90. 则sinA=cosC.A+B+C=180°，B+2C=90°
a+c=根号2b。有正弦定理可知：sinA+sinC=根号2sinB，进一步cosC+sinC=根号2sinB。
两边同时平方：1+2sinCcosC=2sin²B，2sinCcosC=2sin²B-1，sin2C=1-2cos²B。
又因为B+2C=90° sin2C=cosB，所以cosB=1-2cos²B。解得cosB=0.5或cosB=1（舍去）
B=60°或B=120°（舍去）C=15°