Question

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左焦点为F，左右顶点分别是A,C，上顶点为B。过F,B,C作圆P，其中

圆心P的坐标为（m，n）。
（1）当m+n>0时，求椭圆离心率的范围
（2）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论

Answer 1

解：（1）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
x=(1-c)/2，y-(b/2)=(x-1/2)/b
联立方程组，解出x=(1-c)/2,y=(b²-c)/2b
m+n=(1-c)/2+(b²-c)/2b>0，即b-bc+b²-c>0，即（1＋b）（b－c）>0，
∴ b>c．
从而b²>c²即有a²>2c²，∴e²<1/2．
又e>0，∴0<e<1/2．
（2）直线AB与⊙P不能相切．
由kAB=b，kPB=[b-(b²-c)/2b]/[0-(1-c)/2]=(b²+c)/b(c-1)．
如果直线AB与⊙P相切，则b(b²+c)/b(c-1)＝－1．
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，
所以直线AB与⊙P不能相切．

p.s.第二小题亦可以用圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．