Question

n为正整数,求使1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)≥1/7成立的n的最大值

Answer 1

1/(n+1)+1/(n+9)=(2n+10)/(n+1)(n+9)=2/((n+1)(n+9)/(n+5))>2/(n+4)
所以1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)>3/(n+4),因此可知当n<=17时，原式一定成立。
而1/7=3/21<=1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)<3/(n+1),因此可知n<=19
所以范围就锁定为18,19两个数字，现验证19可知
1/20+1/23+1/28<1/20+1/20+1/28=1/10+1/28=3/30+1/28<3/28+1/28=4/28=1/7
所以可知n=19时不成立，故最大的n为18

Answer 2

易知不等式左边各式的分母只要有一个小于或等于7，不等式就恒成立，所以n至少是7，n至多是20，那么只需验证20、19、18、······、9、8、7即可，验证后得n的最大值是16.

Answer 3

f(n)=1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)
其实他就是个递减函数
n=19就是最大的值，n=20时f(n)≤1/7