Question

弄死想不通！！变上限积分的连续性，如果f（x）可积分，那么变上限积分是连续函数！！跳跃间断点呢？

弄死想不通！！有一条定理：变上限积分的连续性，如果f（x）在闭区间上可积分，那么变上限积分是连续函数！
还有定理规定：可以积分的意思是1连续，2 有限个间断点，3单调，我的疑问是：如果是跳跃间断点的话，是可以积分的，但是积分后会有一个突变啊，积分后不就不连续了？这不和可积分则积分后连续是矛盾的吗？

Answer 1

1、被积函数f(x)在跳跃间断点x=a处是有一个突变，但是积分后F(x)在x=a处是不会有突变的。因为不管f(x)怎么突变，只要函数有界，f(x)dx总是趋向于0的。所以f(x)在有限点处的取值如何，不会影响函数的积分结果。

2、因为积分分为几种，此题的积分验证结果是不连续。

积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。

积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。

Answer 2

被积函数f(x)在跳跃间断点x=a处是有一个突变，但是积分后F(x)在x=a处是不会有突变的。
因为不管f(x)怎么突变，只要函数有界，f(x)dx总是趋向于0的。所以f(x)在有限点处的取值如何，不会影响函数的积分结果。

Answer 3

严谨的计算步骤在百度上好难写，只要记住变限积分天然具有连续性就好了。至于你的疑惑，f（x）跳跃间断点在积分函数上对应的是尖点，也就是积分后函数上那个不可导的点，左右导数不相等但是该点存在。例如F(x)=|x|在0点的位置，对应的f(x)=±1，0点是跳跃间断点，但是变限积分在此点却存在。

Answer 4

你说的前面的定理我没有听说过，不过现在教材里面的错误和不严谨的地方还是很多的，多查查资料，不要钻在里面。