Question

关于x的不等式k*(4∧x)-2∧(x+1)+6k＜0，若不等式的解集为﹛x|1＜x＜log2(3)﹜的子集，求实数k的取值范围

我设2∧x为t，方程变为k*t²-2t+6k＜0，然后变为k＜2t/（t²+6）求k的范围结果答案是错的，而如果题目改为不等式对一切x∈﹛x|1＜x＜log2(3)﹜都成立做答案又是对的
问一下这种方法为什么不能适应第一种题目，有什么局限性或者说要满足什么条件才能用这种方法

Answer 1

关于x的不等式k*(4∧x)-2∧(x+1)+6k＜0，若不等式的解集为﹛x|1＜x＜log2(3)﹜的子集，求实数k的取值范围

此题应这样解

解析：∵不等式k4^x-2^(x+1)+6k <0，解集为﹛x|1＜x＜log2(3)﹜

令k4^x-2^(x+1)+6k=0==>k=2^(x+1)/(4^x+6)

设函数f(x)=k4^x-2^(x+1)+6k, 其定义域1<x<log(2,3), 值域(-∞,0)

k=h(x)=2^(x+1)/(4^x+6), 定义域1<x<log(2,3)，求出k的值域，即为所求

令h’(x)=[2^(x+1)*ln2 (4^x+6)- 2^(x+1) (4^x*ln4)]/(4^x+6)^2=0

2^(x+1)*[ln2 (4^x+6)- (4^x*ln4)]=0

4^x=6==>x=ln2+ln3/2ln2=[1+log(2,3)]/2

即函数h(x)在x=[1+log(2,3)]/2处取极大的值√6/6

h(1)=2^2/(4+6)=2/5, h(log(2,3))=6/(9+6)=2/5

∴实数k的取值范围为2/5<k<√6/6

解本题的反思：

不等式的解集为﹛x|1＜x＜log2(3)﹜的子集，正确理解其含义是解本题的关键

其正确含义是：

不等式的解集不是唯一的，即集合﹛x|1＜x＜log2(3)﹜的任何一个子集都可能是不等式的解集，禅凳

每一个子集都是对应仿袭键不等式中的一个k 值，换句话说，本题所求的k取值范围中任取一个k 值

代入所得不等式的解集都是应该是集合﹛x|1＜x＜log2(3)﹜的一个子集

说到子集，一个集合的子集还应包括其本身和空集，这就是所得结果与答案不符的原因所在，当不等式解集为其本身时，k=2/5; 当不等式解集为空集时，k>=√6/6; 当不等式解集为除空集和本身以外的真子集备巧时，2/5<k<√6/6;

综上：实数k的取值范围为[2/5,+∞)

Answer 2

设2^x=t，则此不等式就是：kt²－2t＋6k<0，因1<x<log2(3)，则：2<t<3，即：
不等式kt²－2t＋6k<0的解集是2<t<3的子集。 设：g(t)=kt²－2t＋6k
1、k=0时，显然不行；
2、k≠0时，①若解集为空集，满足。此时必须：k>0且4－24k²≤0 ===>>>> k≥√6/6
②若解集不为空，则判别式>0 ===>>>> k<√6/6
此时要满足：k>0且2<对称轴<3且g(2)≥0且g(3)≥0
k≥0且2≤2/k≤3且10k－4≥0且15k－6≥0
解得：2/5≤k≤1/2

注：这样的问题产生错误的原因可拿慧能在于消旅答对“任意”及“存在”的镇游理解上。

追问

抱歉能否解释一下那个任意和存在的问题，我很想知道那种方法具体能用在哪里，万分感谢

Answer 3

答案是什么？我计算的是k<(根号3)/2,不过，好像不是。

追问

答案是[2/5，﹢㏄﹚

Answer 4

你的那些符号都不准确，让别人怎么帮你呢？