Question

初中几何：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=

初中几何：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=？

Answer 1

过C做CE//AD CF//MN 分别交AB于E,F
因为DC//AB
所以四边形ADCE为平行四边形
所以CD=AE=5
所以BE=AC-AE=6
因为MB=5.5
所以ME=0.5
因为DC//AB
所以四边形CNMF平行四边形
所以CN=MF=2.5
MN=CF
因为EF=MF+ME=3
所以F为BE的中点
因为∠CEB=∠A
所以∠CEB+∠A=90
所以三角形CEB为直角三角形
所以CF=BE/2（直角三角形斜边上的中线为斜边的一半）
所以CF=3
所以MN=3

Answer 2

过D点作CD的平行线交AB于F点，过D点作MN的平行线交AB于E点，
因为AB∥CD，所以BCDF是平行四边形，DF=CD=5，∠AFD=∠B,
因为∠A+∠B=90°，所以，∠AFD+∠A=90°;三角形ADF是直角三角形
DEMN也是平行四边形，MN=DE,EM=DN=2.5
因为AB=11，所以AF=6
因为M是中点，所以AM=5.5，AE=AM-EM=3，EF=AF-AE=3，所以AE=EF,E点是AF的中点
又因为三角形ADF是直角三角形，所以DE=1/2AF=3，
故MN=3

Answer 3

作BE平行AD交CD延长线与E,BF平行MN，

由∠A+∠B=90°且,∠ECB=∠B,∠E=∠A得

三角形CBE为直角三角形

由平行四边形NMBF中NF=BM=11/2,NC=1/2CD=5/2得

CF=3

而CE=AB-CD=11-5=6

所以F为CE中点

MN=BF=1/2CE=3

Answer 4

延长AD，BC交于点o，则角AOB=90
连接ON。则ON-5/2=2.5 OM = 11/2=5.5 MN = 3

另，需要证明ONM三点共线，只需要用反证法即可，设OM交于N1，用ON1C相似于OMB，ODC相似于OAB 可证得N1为DC中点

Answer 5

分别过N作AD,BC的平行线交AB于点N1，N2
由条件∠A+∠B=90°知∠NN1N2+∠NN2N1=90且MN1=AM-AN1=AM-DN=AM-CN=BM-BN2=MN2知三角形NN1N2为直角三角形且M为斜边N1N2中线
得到MN=1/2*N1N2=1/2*(AB-AN1-BN2)=1/2*(AB-DN-CN)=1/2*(11-5)=3

Answer 6

解：过D作DE∥BC，DF∥MN，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，
∴CD=BE=5，AE=AB-BE=11-5=6
∵M为AB的中点
∴MB=AM= AB= ×11=5.5，ME=MB-BE=6-5.5=0.5
∵N为DC的中点
∴DN= DC= ×5=2.5
在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，
所以FM=DN=2.5
故FE=FM+ME=2.5+0.5=3= AE
故F为AE的中点．
又∵DE∥BC
∴∠B=∠AED
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠AED=90°
故∠ADE=90°
即△ADE是直角三角形
∴DF=MN= AE= ×6=3．