Question

高一数学一道线性规划题，求高手速解

在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则y/(x-a)的最大值是
答案是2/5，我求出a=-3，往下就不会了，求详解

Answer 1

我来试试吧...详细地说明下...

解：z=x+ay取得最小值的最优解有无数个
我们先做直线x+ay=0,也就是 y=-1/a x，截距设为d
然后由于需要考虑a的正负，
当a为正时,d最小即为z的最小值；a为负时，d最大即为z的最小值
1.a>0,-1/a<0,我们向上平移y=-1/a x，首先和可行域交于A(2,0),最优解只有1个
2.a<0,-1/a>0,这个时候我们向下平移y=-1/a x，首先与可行域相交时，d最大
由题，最优解有无数个
也就是说,首先与可行域相交时，y=-1/a x与可行域的一条边界重合了...
这样在边界上有无数个点...都是最优解
我们平移的时候发现，最先相交的点必定是A或者C点，故只可能是
y=-1/a x与直线AC平行....
直线AC斜率k=1,故-1/a=1...a=-1

然后新的目标函数就是z=y/(x+1)=(y-0)/(x+1)
也就是 z=可行域上的点到点 （-1,0）连线的斜率大小
我们过（-1,0）做直线x=-1，这个时候斜率无穷大，将这条直线顺时针旋转，
这个时候斜率逐渐减小，首先与可行域交于C（4,2）
k=(4+1)/(2-0)=5/2

Answer 2

a=-2啊 a<0 y越大z越小
y/(x-a)=y/(X+2)为过点(-2,0)的直线的斜率
斜率最大,倾角越大
所以过C(4,2)
答案是2/5