Question

求教：已知正项数列｛an｝，其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1，a3，a15成等比数列，求｛an｝通项公式

Answer 1

很高兴回答你的问题！

由题意得，10Sn=an^2+5an+6 ——①
则10S(n-1)=an-1^2+5an-1 +6——②
①-②，得10(Sn-Sn-1)=an^2- an-1 ^2+5an-5an-1
10an=an^2-a^2n-1+5an-5an-1
5(an+an-1)=an^2-an-1^2
5(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1)
消去an+an-1，得an-an-1=5
所以数列｛an｝是公差为5的等差数列
又a1，a3，a15成等比数列，所以
a3^2=a1*a15
由a3=a1+2d=a1+10,
a15=a1+14d=a1+14*5=a1+70
代入上式，得（a1+10)^2=a1*(a1+70)
解得，a1=2
所以数列｛an｝是首项为2，公差为5的等差数列
an=2+（n-1)*5=5n-3

希望我的回答对你有所帮助！

Answer 2

由题
10Sn=an²+5an+6 ①
10S(n-1)=a(n-1)²+5a(n-1)+6②
①-② 得到
[an-a(n-1)][an+a(n-1]+5[an-a(n-1)]=10(Sn-S(n-1))=10an
⇒[an-a(n-1)][an+a(n-1]-5[an+a(n-1)]=0
⇒[an+a(n-1)][an-a(n-1)-5]=0
正数数列，前面一项大于0的
所以an-a(n-1)-5=0 an-a(n-1)=5
an是等差数列d=5
a3=a1+10 a15=a1+70
a1a15=a3²
即a1(a1+70)=(a1+10)²
50a1=100 a1=2
所以an=5n-3

Answer 3

解：
an=Sn-S(n-1)=(an^2+5an+6)/10-(a(n-1)^2+5a(n-1)+6)/10
=[(an^2-a(n-1)^2)-5(an+a(n-1))]/10
可以化为：(an+a(n-1))(an-a(n-1)-5)=0
∵｛an｝为正项数量，所以an+a(n-1)≠0
∴an-a(n-1)-5=0
即an=a(n-1)+5 {an}是公差为5的等差数列

由10Sn=an^2+5an+6，将a1代入，得到：
10S1=10a1=a1^2+5a1+6
a1^2-5a1+6=(a1-2)(a1-3)=0，故a1有两解，以下分情况讨论：

①a1=2：这样a3=a1+2d=2+2×5=12；a15=a1+14d=2+14×5=72
a1，a3，a15成公比为6的等比数列，成立。
此时{an}的通项公式为：an=5n-3

②a1=3：这样a3=a1+2d=3+2×5=13；a15=a1+14d=3+14×5=73
a1，a3，a15不成等比数列。

综合①②，我们可以得到{an}的通项公式为：an=5n-3