Question

设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)已知对任意x∈R,都有f(x)≤f(π/8)

（1）求函数y=f（x）的解析式并写出其单调递增区间
（2）若x为△ABC的最小内角，求函数y=f（x）的值域
求详细过程

Answer 1

(1)由题意f(π/8)=sin(π/4+φ)=1
0<φ<π
所以φ=π/4
函数y=f（x）的解析式: f(x)=sin(2x+π/4)
单增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]
x∈[kπ-3π/8, kπ+π/8]
(2) 若x为△ABC的最小内角
则x∈(0, π/3]
2x+π/4∈(π/4, 11π/12]
sin(2x+π/4)∈[(√6-√2)/4, 1]
故函数y=f（x）的值域为y∈[(√6-√2)/4, 1]
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

追问

由题意f(π/8)=sin(π/4+φ)=1
其实就是这部不太明白

追答

f(x)最大=1
f(x)≤f(π/8)恒成立，就是说f(π/8)为最大值

Answer 2

1. f(x)=sin(2x+π/4)；单凋递增区间为：kπ - 3π/8 ≤ 2x+π/4 ≤ kπ + π/8 （k为任意整数）
2. f(x)的值域即为(√2/2, 1 ]

设函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)已知对任意x∈R,都有f(x)≤f(π/8)
由此表明，f(x)在x=π/8处，取得最大值1，
则可得，2* (π/8) + φ = 2kπ + π/2，解得，φ =2kπ + π/4，（k为任意整数）
又已知，0<φ<π，显然，当k=0时，φ=π/4符合题意，
故求得，f(x)=sin(2x+π/4)
单凋递增区间为：2kπ - π/2 ≤ 2x+π/4 ≤ 2kπ + π/2
即，kπ - 3π/8 ≤ 2x+π/4 ≤ kπ + π/8 （k为任意整数）

对于△ABC的内角的最小内角，可介于(0, π/3)之间
所以，π/4<2x+π/4<11π/12，根据三角函数的图像及性质可确定，
在此区间上，√2/2<sin(2x+π/4)≤1，即f(x)的值域即为(√2/2, 1 ]
x趋近于0时，最小，但无法取得√2/2的等号，面是无限接近于但仍大于该值；
当x=π/8时，取得最大值1