Question

求√(sin²x+1)在0到π的定积分

Answer 1

是的，
这种积分称为“椭圆积分”，
属于典型的可积不可求的类型，
即不能得出其精确值。

Answer 2

因为被积函数是连续函数，所以必定存在原函数，不管是否存在初等表达式。

又因为π是被积函数的周期，所以也是原函数的周期。因此可以把积分区间改为[-π/2,π/2]。

即

接下来换元：

回去查积分表，没发现相应的积分类型。接下来通过matlab来积分：

>> syms x
>> int(sqrt(sin(x)^2+1))
 
ans =
 
ellipticE(x, -1)

没有得到初等符号解。而是一个椭圆积分的类型。下面求定积分：

>> int(sqrt(sin(x)^2+1),0,pi)
 
ans =
 
2*ellipticE(-1)

也没有初等符号解。

下面给出数值近似解：

>> x=0:0.00001:pi;
>> y=sqrt(sin(x).^2+1);
>> sum(y)*0.00001

ans =

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