Question

f(x)=(x-2)ex＋ a(x-1)²的单调性

Answer 1

f(x)=(x-2)e^x＋a(x-1)²，
f‘(x)=(2x-2)e^x＋2a(x-1)=(2x-2)(e^x＋a)，令f‘(x)=0，则x=1或e^x=-a，
若a≥0，则只有x=1时f‘(x)=0，当x<1时
当x<1时，f‘(x) <0，f(x)单调递减，
当x>1时，f‘(x) >0，f(x)单调递增。
当a<0时，x=ln-a 时f‘(x)=0，
当-e<a<0时，ln-a<1，
当x < ln-a时，f‘(x) >0，f(x)单调递增，
当ln-a< x<1时，f‘(x) <0，f(x)单调递减，
当x>1时，f‘(x) >0，f(x)单调递增。
当a=-e时，ln-a=1，
当x<1时，f‘(x) <0，f(x)单调递减，
当x>1时，f‘(x) >0，f(x)单调递增。
当a<-e时，ln-a >1，
当x<1时，f‘(x) <0，f(x)单调递增，
当1< x< ln-a时，f‘(x) <0，f(x)单调递减，
当x>ln-a时，f‘(x) >0，f(x)单调递增。