Question

双曲线的焦点到渐近线的距离为什么是b

Answer 1

焦点的坐标为C(±c,0),渐近线的方程为：y=±bx/a，即ay±bx=0。

则焦点到渐近线的距离d为：

d=|±bc|/√(a^2+b^2)

=bc/√(a^2+b^2)

=bc/c

=b

所以是正确的。

如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为曲线的渐近线。双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。

扩展资料：

平面内到定点F(c，0)的距离和到定直线l:x=+(-)a2/c 的距离之比等于常数e=c/a (c>a>0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，与椭圆相同。

焦半径( - =1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - =1的右支上时，|pF1|=ex0+a,|pF2|=ex0-a。

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式。

参考资料来源：百度百科——双曲线渐近线

Answer 2

在双曲线上，焦点到渐近线的距离确实等于双曲线的参数b。
双曲线的标准方程是：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0, b > 0）。焦点到渐近线的距离可以用参数b来表示，而与参数a无关。
为了理解为什么这个距离等于b，我们需要考虑双曲线的性质。双曲线有两个分离的无限远点，称为渐近线。这两条渐近线的方程为y = ±(b / a) * x。
现在，我们来考虑双曲线的焦点到渐近线的距离，我们将焦点设为F(x_f, y_f)。我们可以选择其中一条渐近线，比如y = (b / a) * x。
焦点到渐近线的距离等于焦点F到渐近线的垂直距离。设垂直距离为d。由于双曲线的特性，可以使用类似于直角三角形的性质来找到垂直距离。
在双曲线上，到焦点的距离和到双曲线上某点的距离的乘积始终等于常数c^2，其中c是双曲线的离心率。对于双曲线，离心率的计算公式是c = √(a^2 + b^2) / a。
所以，我们可以得到以下关系：
d * (焦点到渐近线的水平距离) = c^2
焦点到渐近线的水平距离是焦点的x坐标，即x_f。
因此，
d * x_f = c^2
现在，我们知道离心率c和参数a之间的关系是c = √(a^2 + b^2) / a，我们可以将其代入上面的方程：
d * x_f = (√(a^2 + b^2) / a)^2
d * x_f = (a^2 + b^2) / a^2
再进一步化简：
d = b^2 / a^2
注意，上面的等式中没有b的平方根，这意味着焦点到渐近线的距离d与参数a无关，而仅仅与参数b有关。所以，焦点到渐近线的距离为b。

Answer 3

双曲线是一类常见的二次曲线，具有许多有趣的性质。其中一个性质是双曲线的焦点到渐近线的距离恒为b，下面将详细解释为什么会出现这个结果。
首先，我们来回顾一下双曲线的定义。对于一个双曲线，它的方程可以表示为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
其中，a和b是双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。双曲线的焦点位于x轴上，坐标为(F, 0)，其中F是焦距。双曲线还有两条渐近线，分别是y = bx/a 和 y = -bx/a。
现在，我们来研究双曲线的焦点到渐近线的距离为什么是b。我们以双曲线的右焦点(F, 0)为例进行推导。
首先，我们需要找到一条从焦点到渐近线的垂线。设垂线与渐近线的交点坐标为(P, Q)。由于垂线与渐近线垂直，所以垂线的斜率为渐近线的负倒数，即斜率为-1/(b/a)=-a/b。
由于垂线经过点(F, 0)，所以可以得到垂线的方程为：
y - 0 = (-a/b)(x - F)
化简得到：
y = (-a/b)x + aF/b
我们知道，双曲线上的点(x, y)满足方程 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。将垂线的方程代入双曲线的方程中，得到：
x^2/a^2 - ((-a/b)x + aF/b)^2/b^2 = 1
化简并整理，得到：
x^2/a^2 - (a^2/b^2)x^2 - 2aFx/b^2 - (a^2F^2/b^2) = 1
合并同类项，得到：
(1/a^2 - 1/(b^2))x^2 - 2aFx/b^2 - (a^2F^2/b^2) = 1
由于双曲线的方程为1，所以上式两边的系数必须相等，即：
1/a^2 - 1/(b^2) = 0
解得：
1/a^2 = 1/(b^2)
交换分子和分母的位置，得到：
a^2 = b^2
取平方根，得到：
a = b
因此，双曲线的焦点到渐近线的距离恒为b。
这个结果可以通过几何和代数的方法得到。几何上，我们可以通过绘制双曲线和渐近线的图形来观察焦点到渐近线的距离。代数上，我们通过将双曲线的方程和垂线的方程代入双曲线方程来推导出结果。
总结起来，双曲线的焦点到渐近线的距离恒为b，这是由于双曲线的形状和参数决定了焦点和渐近线之间的几何关系。这个性质在双曲线的研究和应用中具有重要的意义。

Answer 4

焦点的坐标为C(±c,0),渐近线的方程为：y=±bx/a,即ay±bx=0.
则焦点到渐近线的距离d为：
d=|±bc|/√(a^2+b^2)
=bc/√(a^2+b^2)
=bc/c
=b.
所以是正确的。

Answer 5

简单计算一下，详情如图所示