Question

已知{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=3-8/2^n。设bn=2^n·an,(1)求证：｛bn｝是等差数列，并求出an ；

已知{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=3-8/2^n。设bn=2^n·an,(1)求证：｛bn｝是等差数列，并求出an ；
2.求{anbn}中的最大项
3.求证：对给定的实数m，一定存在正整数k，使得当n>=k时，不等式msn<bn恒成立

Answer 1

(1).an+Sn=3-8/2^n，a(n-1)+S(n-1)=3-8/2^(n-1)，前式减后式得：2an-a(n-1)=8/2^n；
a1+a1=3-8/2，a1=-1/2，bn=2^n·an=4+2^(n-1)a(n-1)，b(n-1)=4+2^(n-2)a(n-2)，bn-b(n-1)=2^(n-2)[2a(n-1)-a(n-2)]=2^(n-2)*8/2^(n-1)=4，则：｛bn｝是等差数列；b1=2*(-1/2)=-1，bn=4n-5；an=(4n-5)/2^n；
(2){anbn}通项=(4n-5)²/2^n，求导得：{anbn}‘=(4n-5)(ln2-8)/2^n，∵ln2-8＜0，∴当n＜5/4时，递增，当n＞5/4时，递减，∵n为正整数，∴当n=1，2之间存在最大值，n=1时，{a1b1}=1/2，n=2时，{a2b2}=3/4，，{a2b2}＞{a1b1}，则{anbn}中的最大项是{a2b2}=3/4；
(3)Sn=3-8/2^n-(4n-5)/2^n=3-(4n+3)/2^n ，S1=-1/2，Sn→∞=3，Sn的值域[-1/2,3)；bn=4n-5；b1=-1，bn→∞=∞，bn的值域[-1,∞)，则不等式msn<bn恒成立。